在 Markdown 中测试数学公式

本文用来测试在 Markdown 中使用 $$ 分隔符渲染数学公式的效果。

基础代数

先从一些基础的代数表达式开始。

一元二次方程的求根公式： $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

一个简单的一次函数： $y = mx + c$

二项式平方的展开： $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

下面是一些常见的微积分表达式。

导数的极限定义： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

一个定积分： $\int_{a}^{b} f(x) dx$

$e^x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开： $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

一些基础的三角恒等式。

毕达哥拉斯恒等式（勾股定理的三角形式）： $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

正弦的和角公式： $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

欧拉公式： $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

统计与概率中常用的一些公式。

一组 $n$ 个数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的均值（ $\mu$ ）公式： $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

正态分布的概率密度函数： $f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

贝叶斯定理： $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

来自线性代数的几个例子。

一个 2×2 矩阵： $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

2×2 矩阵的行列式： $\det(A) = ad - bc$

矩阵 A 与矩阵 B 相乘： $C = AB$

两个很著名的物理公式。

爱因斯坦质能方程： $E = mc^2$

牛顿第二定律： $F = ma$

以上内容可以用来检验各类数学公式的渲染效果。

感谢阅读！

2025年5月31日周六LaTeX

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